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数与代数
01数的认识
整数【正数、0、负数】
一、一个物体也没有，用0表示。0和1、2、3……都是自然数。自然数是整数。 二、最小的一位数是1，最小的自然数是0。 三、零上4摄氏度记作+4℃；零下4摄氏度记作-4℃。“+4”读作正四。“-4”读作负四。+4也可以写成4。 四、像 +4、19、+8844这样的数都是正数。像-4、-11、-7、-155这样的数都是负数。 五、0既不是正数，也不是负数。正数都大于0，负数都小于0。 六、通常情况下，比海平面高用正数表示，比海平面低用负数表示。 七、通常情况下，盈利用正数表示，亏损用负数表示。 八、通常情况下，上车人数用正数表示，下车人数用负数表示。 九、通常情况下，收入用正数表示，支出用负数表示。 十、通常情况下，上升用正数表示，下降用负数表示。
小数【有限小数、无限小数】
一、分母是10、100、1000……的分数都可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…… 二、整数和小数都是按照十进制计数法写出的数，个、十、百……以及十分之一、百分之一……都是计数单位。每相邻两个计数单位间的进率都是10。 三、每个计数单位所占的位置，叫做数位。数位是按照一定的顺序排列的。 四、小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。 五、根据小数的性质，通常可以去掉小数末尾的“0”，把小数化简。 六、比较小数大小的一般方法：先比较整数部分的数，再依次比较小数部分十分位上的数，百分位上的数，千分位上的数，从左往右，如果哪个数位上的数大，这个小数就大。 七、把一个数改写成用“万”或“亿”作单位的数，在万位或亿位右边点上小数点，再在数的后面添写“万”字或“亿”字。 八、求小数近似数的一般方法：1先要弄清保留几位小数；2根据需要确定看哪一位上的数；3用“四舍五入”的方法求得结果。 九、整数和小数的数位顺序表：
分数【真分数、假分数】
一、把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。表示其中一份的数，是这个分数的分数单位。 二、两个数相除，它们的商可以用分数表示。即：a÷b=b/a（b≠0） 三、小数和分数的意义可以看出，小数实际上就是分母是10、100、1000…的分数。 四、分数可以分为真分数和假分数。 五、分子小于分母的分数叫做真分数。真分数小于1。 六、分子大于或等于分母的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。 七、分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。 八、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（零除外），分数的大小不变。 九、小数的性质和分数的基本性质一致的，应用分数的基本性质，可以通分和约分。
百分数【税率、利息、折扣、成数】
一、表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数也叫百分率或百分比，百分数通常用“%”表示。 二、分数与百分数比较：
三、分数、小数、百分数的互化。 （1）把分数化成小数，用分数的分子除以分母。 （2）把小数化成分数，先改写成分母是10、100、1000……的分数，再约分。 （3）把小数化成百分数，先把小数点向右移动两位，然后添上百分号。 （4）把百分数化成小数，先去掉百分号，然后把小数点向左移动两位。 （5）把分数化成百分数，先把分数化成小数（除不尽时通常保留三位小数），再把小数化成百分数。 （6）把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。 四、熟记常用三数的互化。 五、 1、出勤率表示出勤人数占总人数的百分之几。 2、合格率表示合格件数占总件数的百分之几。 3、成活率表示成活棵数占总棵数的百分之几。 六、求一个数比另一个数多百分之几，就是求一个数比另一个数多的占另一个数的百分之几。 七、1、多的÷“1”=多百分之几 2、少的÷“1”= 少百分之几 八、应得利息是税前利息，实得利息是税后利息。 九、利息 = 本金 × 利率 × 时间 十、应得利息 －利息税 = 实得利息 十一、几折表示十分之几，表示百分之几十；几几折表示十分之几点几，表示百分之几十几。 十二、 1、原价×折扣=现价 2、现价÷原价=折扣 3、现价÷折扣=原价 十三、几成表示十分之几表示百分之几十；几成几表示十分之几点几，表示百分之几十几。
因数与倍数【素数、合数、奇数、偶数】
一、4 × 3 = 12，12是4的倍数，12也是3的倍数，4和3都是12的因数。 二、一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。 三、一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数因数的个数是有限的。 四、5的倍数：个位上的数是5或0。 2的倍数：个位上的数是2、4、6、8或0。2的倍数都是双数。 3的倍数：各位上数的和一定是3的倍数。 五、是2的倍数的数叫做偶数。不是2的倍数的数叫做奇数。 六、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数就叫做素数（或质数）。 七、一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数就叫做合数。 八、在1—20这些数中： （1既不是素数，也不是合数） 奇数：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。 偶数：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20。 素数：2、3、5、7、11、13、17、19。（共8个，和为77。） 合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。（共11个，和为132。） 九、最小的奇数是1，最小的偶数是0，最小的素数是2，最小的合数是4。 十、如果两个数是倍数关系，则大数是最小公倍数，小数是最大公因数。 十一、如果两个数只有公因数1，则最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
02数的运算
计算法则【整数、小数、分数】
一、计算整数加、减法要把相同数位对齐，从低位算起。 二、计算小数加、减法要把小数点对齐，从低位算起。 三、小数乘法：1、先按整数乘法算出积是多少，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 2、注意：在积里点小数点时，位数不够的，要在前面用0补足。 四、小数除法： 1、商的小数点要和被除数的小数点对齐； 2、有余数时，要在后面添0，继续往下除； 3、个位不够商1时，要在商的整数部分写0，点上小数点，再继续除。 4、把除数转化成整数时，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位。 5、当被除数的小数位数少于除数的小数位数时，要在被除数的末尾用0补足。 五、一个小数乘10、100、1000……只要把这个小数的小数点向右移动一位、两位、三位…… 六、一个小数除以10、100、1000……只要把这个小数的小数点向左移动一位、两位、三位…… 七、分数加、减法：1同分母分数相加减，把分子相加减，分母不变。2异分母分数相加减，要先通分化成同分母分数，然后再相加减。 八、分数大小的比较：1同分母分数相比较，分子大的大，分子小的小。2异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。 九、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 十、甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
四则运算关系
加法 | | 减法 | 被减数 = 差 + 减数 减数 = 被减数 － 差 | 乘法 | | 除法 | |
两个规律
一、除法的商不变规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 二、乘法的积不变规律：如果一个因数乘几，另一个因数则除以几，那么它们的积不变。
简便计算
一、运算定律： 运算定律 | | 加法交换律 | | 加法结合律 | | 乘法交换律 | | 乘法结合律 | | 乘法分配律 | | 减法运算规律 | | 除法运算规律 | |
二、乘、除法的互化。（小技巧：符号是相反的；两个数相乘得“1”。） （1）A÷0.1=A×10 （2）A×0.1=A÷10 | （7）A÷0.01=A×100； （8）A×0.01=A÷100 | （3）A÷0.2=A×5 （4）A×0.2=A÷5 | （9）A÷0.25=A×4 （10）A×0.25=A÷4 | （5）A÷0.5=A×2 （6）A×0.5=A÷2 | （11）A÷0.125=A×8 （12）A×0.125=A÷8 |
三、求近似数的方法。 ①四舍五入法。②进一法。 ③去尾法。
四、积与因数、商与被除数的大小比较： 第2个因数>1,积>第1个因数； 第2个因数=1,积=第1个因数； 第2个因数<1,积<第1个因数。 | 除数>1，商<被除数； 除数=1，商=被除数； 除数<1，商>被除数； |
数量关系
单价×数量=总价 总价÷数量=单价 总价÷单价=数量 | 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作时间=工作效率 工作总量÷工作效率=工作时间 | 速度×时间=路程 路程÷时间=速度 路程÷速度=时间 | 速度和×相遇时间=路程 路程÷相遇时间=速度和 路程÷速度和=相遇时间 |
03式与方程
用字母表示数
一、在一个含有字母的式子里，数字和字母、字母和字母相乘时，中间的乘号可以记作“· ”，也可以省略不写。在省略数字与字母之间的乘号时，要把数字写在字母的前面。 二、2a与a2意义不同：2a表示两个a相加，a2表示两个a相乘。即：2a=a＋a，a2= a×a。 三、用字母表示数： ①用字母表示任意数：如X=4 a=6 ②用字母表示常见的数量关系：如s=vt ③用字母表示运算定律：如a＋b=b＋a ④用字母表示计算公式：S=ah
方程与等式
一、含有未知数的等式叫做方程。 二、使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 三、求方程的解的过程，叫做解方程。 四、方程和等式的联系与区别：
五、等式的基本性质（一）： 等式两边同时加上（或减去）一个相同的数，所得结果仍然是等式。 六、等式的基本性质（二）： 等式两边同时乘（或除以）一个不等于零的数，所得结果仍然是等式。 七、列方程解应用题的一般步骤： ①弄清题意，找出未知数并用X表示。 ②找出应用题中数量间的相等关系，并列出方程。 ③求出方程的解。 ④检验或验算，写出答案。
04正比例与反比例
比和比例
一、比和比例的联系与区别：
比 与 比 例 的 区 别 | | | | | | | | 两点读作比，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。 | | 组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做比例的的外项，中间的两项叫做比例的内项。 | | | 比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变。 | | | | | | | | | | | |
二、比同分数、除法的联系与区别：
三、求比值与化简比的区别：
| | | 求比值 | | | 化简比 | 根据比的基本性质，把比的前项和后项都乘或除以相同的数（零除外）。 | |
四、化简比： ①整数比的化简方法是：用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。 ②小数比的化简方法是：先把小数比化成整数比，再按整数比化简方法化简。 ③分数比的化简方法是：用比的前项和后项同时乘以分母的最小公倍数。
五、比例尺：我们把图上距离和实际距离的比叫做这幅图的比例尺。 六、比例尺=图上距离︰实际距离 比例尺 = 图上距离 / 实际距离
正比例、反比例
一、正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。
二、反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。
三、正比例与反比例的区别：
| | | 相 同 点 | 都有两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。 | 不 同 点 | | |
空间与图形
01图形的认识、测量
量的计量
一、长度单位是用来测量物体的长度的。常用的长度单位有：千米、米、分米、厘米、毫米。
二、长度单位： 1千米=1000米 | | 1分米=10厘米 | | 1米=100厘米 | |
三、面积单位是用来测量物体的表面或平面图形的大小的。常用面积单位：平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。 四、测量和计算土地面积，通常用公顷作单位。边长100米的正方形土地，面积是1公顷。 五、测量和计算大面积的土地，通常用平方千米作单位。边长1000米的正方形土地，面积是1平方千米。
六、面积单位：（100） 七、体积单位是用来测量物体所占空间的大小的。常用的体积单位有：立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）。
八、体积单位：（1000） 九、常用的质量单位有：吨、千克、克。 十、质量单位：
十一、常用的时间单位有： 世纪、年、季度、月、旬、日、时、分、秒。
十二、时间单位：（60） 1世纪=100年 | | 1年=4个季度 | | 1个月=3旬 | | 小月=30天 | | 闰年二月=29天 | | 1小时=60分 | |
十三、高级单位的名数改写成低级单位的名数应该乘以进率；低级单位的名数改写成高级单位的名数应该除以进率。
十四、常用计量单位用字母表示：
平面图形【认识、周长、面积】
一、用直尺把两点连接起来，就得到一条线段；把线段的一端无限延长，可以得到一条射线；把线段的两端无限延长，可以得到一条直线。线段、射线都是直线上的一部分。线段有两个端点，长度是有限的；射线只有一个端点，直线没有端点，射线和直线都是无限长的。
二、从一点引出两条射线，就组成了一个角。角的大小与两边叉开的大小有关，与边的长短无关。角的大小的计量单位是（°）。 三、角的分类：小于90度的角是锐角；等于90度的角是直角；大于90度小于180度的角是钝角；等于180度的角是平角；等于360度的角是周角。 四、相交成直角的两条直线互相垂直；在同一平面不相交的两条直线互相平行。 五、三角形是由三条线段围成的图形。围成三角形的每条线段叫做三角形的边，每两条线段的交点叫做三角形的顶点。 六、三角形按角分，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 按边分，可以分为等边三角形、等腰三角形和任意三角形。 七、三角形的内角和等于180度。 八、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。 九、在一个三角形中，最多只有一个直角或最多只有一个钝角。 十、四边形是由四条边围成的图形。常见的特殊四边形有：平行四边形、长方形、正方形、梯形。 十一、圆是一种曲线图形。圆上的任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是圆的半径的长。通过圆心并且两端都在圆的线段叫做圆的直径。 十二、有一些图形，把它沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形。这条直线叫做对称轴。 十三、围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。 十四、物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。 十五、平面图形的面积计算公式推导： 【1】平行四边形面积公式的推导过程？
①把平行四边形通过剪切、平移可以转化成一个长方形。
②长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，长方形的面积等于平行四边形的面积。 ③因为：长方形面积=长×宽，所以：平行四边形面积=底×高。即：S=ah。 【2】三角形面积公式的推导过程？
①用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。 ②平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，三角形面积等于和它等底等高的平行四边形面积的一半 ③因为：平行四边形面积=底×高，所以：三角形面积=底×高÷2。即：S=ah÷2。 【3】梯形面积公式的推导过程？
①用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 ②平行四边形的底等于梯形的上底和下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，梯形面积等于平行四边形面积的一半。 ③因为：平行四边形面积=底×高，所以：梯形面积=（上底＋下底）×高÷2。即：S=（a+b）h÷2。 【4】画图说明圆面积公式的推导过程
①把圆分成若干等份，剪开后，拼成了一个近似的长方形。 ②长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。 ③因为：长方形面积=长×宽，所以：圆面积=πr×r=πr²。即：S=πr²。
十六、平面图形的周长和面积计算公式：
长方形周长 =（长+宽）× 2 | |
| 长方形面积 = 长 × 宽 | |
| 正方形周长 = 边长 × 4 | |
| 正方形面积 = 边长 × 边长 | |
| 平行四边形面积 = 底 × 高 | |
| 三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2 | |
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十七、常用数据： 常用π值 | | 2π=6.28 | | | 3π=9.42 | | | 4π=12.56 | | | 5π=15.70 | | | 6π=18.84 | | | 7π=21.98 | | | 8π=25.12 | | | 9π=28.26 | | | 10π=31.4 | | |
立体图形【认识、表面积、体积】
一、长方体、正方体都有6个面，12条棱，8个顶点。正方体是特殊的长方体。 二、圆柱的特征：一个侧面、两个底面、无数条高。 三、圆锥的特征：一个侧面、一个底面、一个顶点、一条高。 四、表面积：立体图形所有面的面积的和，叫做这个立体图形的表面积。 五、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。容器所能容纳其它物体的体积叫做容器的容积。 六、圆柱和圆锥三种关系： ①等底等高：体积1︰3 ②等底等体积：高1︰3 ③等高等体积：底面积1︰3 七、等底等高的圆柱和圆锥： ①圆锥体积是圆柱的1/3， ②圆柱体积是圆锥的3倍， ③圆锥体积比圆柱少2/3， ④圆柱体积比圆锥多2倍。 八、等底等高的圆柱和圆锥：锥1、差2、柱3、和4。 九、立体图形公式推导： 【1】圆柱的侧面展开后得到一个什么图形？这个图形的各部分与圆柱有何关系？（圆柱侧面积公式的推导过程）
①圆柱的侧面展开后一般得到一个长方形。 ②长方形的长相当于圆柱的底面周长，长方形的宽相当于圆柱的高。 ③因为：长方形面积=长×宽，所以：圆柱侧面积=底面周长×高。 ④圆柱的侧面展开后还可能得到一个正方形。 正方形的边长=圆柱的底面周长=圆柱的高。
【2】我们在学习圆柱体积的计算公式时，是把圆柱转化成以前学过的一种立体图形（近似的）进行推导的，请你说出这种立体图形的名称以及它与圆柱体有关部分之间的关系？ ①把圆柱分成若干等份，切开后拼成了一个近似的长方体。 ②长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。 ③因为：长方体体积=底面积×高，所以：圆柱体积=底面积×高。即：V=Sh。 【3】请画图说明圆锥体积公式的推导过程？
①找来等底等高的空圆锥和空圆柱各一只。
②将圆锥装满沙子，倒入圆柱中，发现三次正好装满，将圆柱里的沙子倒入圆锥中，发现三次正好倒完。 ③通过实验发现：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一；圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的三倍。即：V=1/3Sh。
十、立体图形的棱长总和、表面积、体积计算公式： 名称 | | 长方体棱长总和 | | 长方体表面积 | | 长方体体积 | | 正方体棱长总和 | | 正方体表面积 | | 正方体体积 | | 圆柱体侧面积 | | 圆柱体表面积 | | 圆柱体体积 | | 圆锥体体积 | |
02图形与变换
一、变换图形位置的方法有平移、旋转等，在变换位置时，每个图形的相应顶点、线段、曲线应同步平移，旋转相同的角度。 二、不改变图形的形状，只改变它的大小时，通常要使每个图形的要素，如长方形的长与宽，三角形的底与高等同时按相同比例放大或缩小。 三、对称图形是对称轴两边的图形经对折后能够完全重合，而不是完全相同。
（三）图形与位置 一、当我们处在实际生活及情景中，面对教短距离时，通常用上、下、前、后来描述具体位置。 二、当我们面对地图、方位图时，通常用东、西、南、北，南偏东、北偏东……来描述方向。再结合所示比例尺计算出具体距离，把方向与距离结合起来确定位置。
统计与可能性
01统 计
一、我们通常都是通过打勾、画圆、划“正”字的方法进行数据的收集和整理。 二、常见的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图三种。 三、条形统计图的特点：从图中能清楚地看出各种数量的多少，便于比较。 四、折线统计图的特点：不但能看出各种数量的多少，而且还能够清楚地表示出数量增减变化的情况。 五、扇形统计图的特点：表示各部分和总数之间，以及部分与部分之间的关系。 六、中位数、众数、平均数
02可能性
一、 二、在可能性相同的情况下，比赛游戏规则是公平的。
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